¿Cómo enseñamos y aprendemos la geometría? Réquiem por nuestra entrañable Línea de Tierra.

Para la entrada de hoy, con la que cerramos la participación en el Máster UPM de Formación de Profesorado de Secundaria, y puesto que como réquiem la hemos titulado, nos va a acompañar una joya de la música polifónica española del Renacimiento: Parce mihi domine, del Oficium Defunctorum de Cristóbal de Morales (1500 -1553). Morales, junto con Francisco Guerrero y Tomás Luis de Victoria, representa la cumbre de la composición musical española de todos los tiempos. 

En 1994, el noruego Jan Garbarek unió su saxofón soprano, cortante y preciso como un escalpelo, a las voces del cuarteto vocal masculino británico Hilliard Ensemble, en esta grabación sublime y sobrecogedora. 

El debate sobre buenas prácticas en la enseñanza de la geometría no merecía menos.

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Parce mihi Domine, nihil enim sunt dies mei.
Quid est homo, quia magnificas eum?
Aut quid apponis erga eum cor tuum?
Visitas cum diluculo, et subito probas illum.
Usquequo non parcis michi, nec dimittas me, ut glutiam salivam meam?
Peccavi. Quid faciam tibi, o custos hominum?
Quare posuisti me contrarium tibi, et factus sum michimet ipsi gravis?
Cur non tollis peccatum meum, et quare non aufers iniquitatem meam?
Ecce nunc in pulvere dormio; et si mane me quesieris, non subsistam.

Perdóname Señor, porque mis días son un soplo.
¿Qué es el hombre para que le des tanta importancia,
para que pongas en él tu atención,
para que cada mañana lo inspecciones y sin cesar lo pongas a prueba?
¿Hasta cuándo seguirás vigilándome sin darme tregua ni para tragar saliva?
¿Qué daño te hizo mi pecado, guardián de los hombres?
¿Por qué me has convertido en blanco de tus flechas? ¿Por qué he de ser una carga para ti?
¿Por qué no olvidas mi pecado ni pasas por alto mi culpa?
Mira que bien pronto yaceré en la tierra y no me hallarás, aunque me busques.

Parce mihi Domine - (Job 7: 16-21)

¿Es razonable seguir enseñando y aprendiendo geometría? En su caso ¿qué y cómo?
Resulta paradójico que, a punto de terminar al Máster de Profesorado de Secundaria, en la especialidad de Expresión Gráfica, y de haber compartido tres meses de prácticas con alumnado y docentes en las aulas de dibujo de todos los cursos de ESO y Bachillerato, no haya avanzado mucho en las respuestas a estas preguntas, básicamente porque ni siquiera suelen formularse, salvo honrosas excepciones.
Hay una inercia de los docentes (no solo en esta materia), a enseñar lo que ellos aprendieron, y con procedimientos y objetivos (o ausencia de ellos) similares. Pero es que el mundo y la sociedad en que vivimos están en permanente y creciente transformación. Si la escuela no se adapta y se reformula al ritmo de ese contexto cambiante, se produce una brecha cuya primera consecuencia es la desmotivación del alumnado, el fracaso y el abandono escolar.

Constructivismo avant-la-lettre en el taller de Geometría de la
Escuela Profesional de Artesanos de Badajoz (hoy IES Castelar) 1930  

Resolución del problema de mínima distancia entre dos rectas que se cruzan, en diédrico clásico.
(De antoniovallecillos.blogspot.com)

Libro de texto de Suárez Somonte (1914), catedrático y director del instituto del Cardenal Cisneros

 Un libro de geometría sin imágenes... las tenían que elaborar los propios alumnos a partir del texto. Aquí la demostración de Pitágoras por semejanza de triángulos.
Quién dijo que el enfoque constructivista era 'el último grito', esto tiene un siglo. 

   
Y no es que aquellos maestros o sus métodos fueran malos, ni mucho menos. Me ha resultado curioso leer el prólogo de este libro de texto de 1914, escrito por el catedrático de la asignatura y destinado a estudiantes de aquel Bachillerato (12 ó 13 años) en el Instituto del Cardenal Cisneros de Madrid. Lo publican en un blog elaborado por el actual departamento de Matemáticas del IES Cardenal Cisneros (donde por cierto estudian dos de mis hijas). 
En él encuentro planteamientos similares a los que rigen la enseñanza de la geometría hoy día, ni más ni menos que... en la Escuela de Aeronáuticos de la UPM o en nuetro propio Máster para futuros profesores de Expresión Gráfica en Secundaria. Parece que buenos docentes ha habido siempre:

En esta Geometría el alumno no puede aprender de memoria ni las demostraciones ni las figuras a que aquéllas se refieren, porque ni hay figuras en el libro, ni en rigor hay en él demostraciones.

Los párrafos que siguen a los enunciados de los teoremas o de los problemas indican el camino que hay que seguir para demostrar los primeros o para resolver los segundos. El que siga ese camino demostrará los teoremas y resolverá los problemas razonando por su propia cuenta sobre figuras dibujadas por él y hechas sin traba alguna de posición impuesta, que conduce muchas veces a error en los libros de Geometría con figuras.

El que por vez primera siga ese método en la enseñanza de la Geometría llegará a desconfiar del éxito y sentirá temores al ver lo poco que avanza en la asignatura. Que no le importe: yo también tuve esas dudas y sentí esos temores el primer año, al ver pasados casi cuatro meses del curso, bien menguado ya por las largas vacaciones de Navidad, cuando mis alumnos habían aprendido a demostrar, en la forma antes dicha, y no llevábamos dada ni la cuarta parte de la asignatura; es decir, que por aquella época mis alumnos sabían razonar, pero sabían muy poca Geometría (Yo, amante de esta Ciencia, declaro que vale mucho más saber razonar que saber Geometría). Bien pronto se desvanecieron mis temores por el atraso de la clase, al convencerme de que ésta estaba ya en condiciones de seguir el camino de la asignatura con la velocidad que fuera preciso.  

                           Prólogo de Geometría (1914), de Ignacio Suárez Somonte

Bueno, con respecto a la enseñanza de esa geometría que siempre fue capital en la educación de la persona... yo voy a mojarme, aportando mi humilde opinión como futuro docente de la materia (si es que esta carrera de fondo para lograrlo me lleva algún día a la meta). 
Sí, la geometría sigue siendo fundamental en la formación de las nuevas generaciones. Entre los objetivos irrenunciables que justifican su vigencia podemos apuntar:

• Analizar la realidad, sistematizando las formas y sus propiedades.
• Ejercitar el método lógico-deductivo como medio para ordenar el conocimiento, desarrollar el pensamiento crítico, la capacidad de abstracción y la inteligencia.
• Fomentar la creatividad, desde una visión abierta del corpus de conocimientos geométricos.
• Desarrollar la capacidad para resolver problemas complejos a través del dibujo y los métodos y modelos geométricos, más intuitivos y amigables que los de otras ramas de las Matemáticas.
• Integrar la geometría métrica y la descriptiva con la analítica y el resto de ciencias exactas.
• Servir de soporte científico e instrumental a la infografía en su amplísimo espectro.

Con respecto al qué y el cómo... podríamos distinguir dos enfoques docentes en geometría:

• Axiomática, del mundo de los conceptos, la abstracción y la sistematización, en una línea que va desde Euclides a David Hilbert, por ejemplo.
• Intuitiva, más pragmática y accesible, con ejemplos como las lúnulas de Hipócrates, los poliedros de Platón, el teorema de Pitágoras, las cónicas de Apolonio o los sistemas perspectivos.    

Conceptualismo.
Plano definido por 3 puntos

Enfoque intuitivo y accesible de la geometría.
Poliedros y su representación.

Son dos caras de una misma moneda, y a juicio de muchos docentes su aplicación y peso en las aulas depende, básicamente, de la edad del alumnado y la consiguiente capacidad lógica y abstracta de su cerebro. 

Así, hasta los 12 años la geometría debería ser experimental e intuitiva, viajando desde el análisis de la naturaleza hacia una progresiva abstracción. Para ello hay metodología y recursos docentes que han demostrado su eficacia. A la geometría de regla y compás se suman desde hace años las TIC.
Por su parte, para la enseñanza superior, en carreras técnico-científicas, se reserva el método lógico geométrico, la necesidad de conceptos, sistematización, axiomas, demostraciones e investigación.

La cuestión es de nuevo cómo enseñamos geometría en ESO y Bachillerato, entre los 12 y 18 años.  
Desde luego, no parece sostenible seguir obligándoles a memorizar colecciones de láminas y problemas con el único objetivo de superar la PAU. Será clave en cambio motivarlos e incluir en los procesos de aprendizaje herramientas TIC próximas a su universo, que complementen la enseñanza 'convencional'.

Manipulación de objetos tridimensionales

Análisis de empaquetamiento espacial

Bring your own device

Realidad Aumentada y percepción espacial.

Bueno, ahora sí, vamos a poner nuestro granito de arena, aunque sea brevemente, en el debate que se planteaba para este final de curso: ¿Diédrico clásico o diédrico directo, Monge o Millar?

Pero antes, y para prepararnos, escuchemos otro tema de Jan Garbarek, en este caso la intemporal My Song, que compuso en 1978 con el pianista Keith Jarrett, interpretada aquí a la guitarra por Pat Metheny (tampoco os perdáis la versión original, una de las piezas con mayor éxito de ventas en la historia del jazz).   

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Diédrico clásico o directo, ¿una elección visceral o racionalizable?

Cuando se ama algo con pasión, no es extraño que surjan posiciones encontradas defendidas a capa y espada, con y sin argumentos, por feeling, o química, o piel. Hay que ser de Verdi o de Wagner, de microsoft o de apple, de iphone o de android, de los beatles o de los stones, analógico o digital, de River o de Boca, acústico o electrónico, figurativo o abstracto, de Disney o de Pixar. No hay términos medios, o conmigo o contra mí.

Los apasionados de la geometría no son menos viscerales, y cuando toman partido lo hacen a cara de perro, sin hacer prisioneros, porque aún hay cosas por las que merece la pena morir... o al menos dejarse partir la cara.

Piet Mondrian, holandés abanderado del neoplasticismo junto con Theo van Doesburg, abandonó el movimiento De Stijl y rompió toda relación con su amigo y cómplice artístico y filosófico cuando este introdujo la diagonal en sus "contracomposiciones"(herejía en un universo exclusivo de horizontales y verticales). Sin olvidar la osadía de usar colores distintos de los primarios rojo, amarillo y azul, que junto con los no-colores blanco y negro habían sido los únicos axiomáticamente aceptados para su nueva concepción coherente del mundo (dicen que Mondrian tenía absolutamente vetado el color verde en su casa). Vale, es cierto que algo de leyenda hay en todo ello, pero como ya se ha dicho en este blog, se non è vero è ben trovato, y los escritos de ambos genios demuestran que esas revoluciones geométricas estuvieron en el germen de su ruptura.

Composición V (1925). Theo Van Doesburg.

Composición en rojo, amarillo y azul (1921). Piet Mondrian

Pues bien, ¿por qué no hay unanimidad en la conveniencia o no de sustituir definitivamente el ilustre Sistema Diédrico, que debemos desde principios del siglo XIX a Gaspard Monge y sus discípulos, por su versión actualizada un siglo después por el profesor norteamericano Adam V. Millar, denominada DIÉDRICO DIRECTO o libre?

Desde el punto de vista formal lo más evidente es la eliminación de la línea de tierra, dado que los aún llamados plano horizontal y vertical de proyección no son ya planos concretos que se intersectan ortogonalmente en la línea de tierra, sino cualquiera de los planos perpendiculares respectivamente a esas dos direcciones de proyección. Junto con la línea de tierra desaparecen también las trazas de rectas y planos (que tan útiles nos resultaban en la metodología clásica que todos aprendimos), las coordenadas cartesianas absolutas (lateralidad X, alejamiento Y, cota Z), que ahora pasan a ser relativas de unos elementos con otros, y los cuadrantes y bisectores (ahora los planos de proyección siempre se sitúan por debajo y detrás de los objetos representados). Con todo ello, y pese a que ambas versiones del sistema son compatibles y podrían convivir incluso en un mismo dibujo, desaparecen muchos de los procedimientos que se utilizaban para la resolución de problemas, y que ahora serán sustituidos por otros nuevos.

Como en su día ocurrió con Mondrian y con Van Doesburg, las posturas entre partidarios de uno y otro sistema son maximalistas, excluyentes e irreconciliables. Y no hay más que darse una vuelta por los comentarios vertidos en los numerosos y muy interesantes blogs y webs enfocados a la enseñanza de esta disciplina.

Ya disponíamos de amplia bibliografía de referencia en español para cada opción, entre la que destaco los excelentes libros de Fernando Izquierdo Asensi (de quien recibí clase hace tres décadas en la ETSAM) y de David Corbella Barrios (que ha sido también profesor mío en este Máster). Ambos en la vertiente clásica, podemos citar en contrapartida los de Victorino González García o el más reciente de Vicente Giménez Peris para el Diédrico Directo.  

Pero si las ventajas e inconvenientes de cada enfoque podrían ser debatidas desde un punto de vista práctico y conceptual, mucho más interesante nos parece la cuestión de cuál es el método idóneo para su enseñanza en la etapa de ESO y Bachillerato. 

Cabeza ortográfica, Durero.

Para algunos autores, como Grassa Miranda (2009), la elección tiene mucho que ver con la dicotomía entre lo axiomático y lo intuitivo, siendo esta última opción la que se identifica con el método directo, adoptado ampliamente en el ámbito anglosajón, frente a lo que él denomina "diédrico español", anclado aún en el método clásico de Monge. Si aceptamos esta visión, sólidamente defendida en su tesis doctoral y compartida por otros especialistas, entonces parece conveniente empezara a introducir el diédrico directo desde la enseñanza secundaria.

Partiendo de que a día de hoy la inmensa mayoría de los que estudiamos el método directo de Millar ya nos habíamos formado en el diédrico clásico, lo que supone una visión sesgada y subjetiva de su idoneidad, creo que una apuesta decidida por abrazar la "modernidad" de este aparato de pensamiento y desarrollo de la geometría descriptiva debería contar entre otras cosas con:

• El máximo respaldo y consenso por parte de la comunidad educativa en todos sus estamentos (administración incluida) y etapas, desde Primaria hasta Superior.
• Una investigación empírica, rigurosa y solvente sobre los efectos del trasvase en los resultados de aprendizaje del alumnado, 
• Un conjunto de materiales y recursos docentes contrastados y de calidad, que además aproximen el método a su aplicación en problemas realistas y cercanos.   

Aunque nos remitiremos a una próxima entrada para hacer un análisis comparado de ambos métodos en la resolución de algunos problemas concretos (cada método tiene unos casos para los que se demuestra como ventajoso), incrustamos a continuación como aperitivo un interesante recurso elaborado por Circulandia en la plataforma Mongge (también daría para mucho el análisis de los distintos repositorios y softwares que ofrecen contenidos accesibles en la red). 
Puedes pulsar sobre el rótulo Solución para analizar paso a paso el proceso de resolución para la obtención de la recta que, pasando por un punto dado, se apoya en otras dos rectas también dadas.

Inversión (III) ... soluciones fáciles en un mundo invertido. Y por qué siempre nos quedará París.

Para terminar con este viaje geométrico-artístico-musical, escuchemos el jazz genuinamente parisino, manouche o gipsy swing, creado en los '30 en aquellos garitos nocturnos por Django Reinhardt, Stéphane Grapelli Grappelli y  el Quintette du Hot Club de France, interpretando aquí su Minor Swing. Django tocando así, pese a tener solo dos dedos en la mano izquierda por un accidente, es un ejemplo de que casi todo es posible cuando subyace la pasión.

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Hago un inciso para introducir anticipadamente esta entrada, que estaba prevista para cerrar el tema de inversión en algún momento. Adelanto su publicación como expiación por el desastroso examen de tangencias e inversión que he "perpetrado" esta mañana (un "simple" sexto problema de Apolonio), dejando evidencia de que en materia de geometría métrica mi ignorancia es enciclopédica y solo tiene pequeñas lagunas.

Quizá otra entrada más adelante nos permita adentrarnos en jardines -muy queridos y debatidos en la vertiente educativa de este blog- relacionados con estrategias de enseñanza-aprendizaje del dibujo técnico: "trazadismo" vs "conceptualismo", mecánica y recetas frente a deducción y generalización. 

La inversión como herramienta.

Habíamos quedado en que determinadas transformaciones, como la de cambiar los números por sus logaritmos, permitían trasladar problemas complejos a "otra realidad" en la que su resolución se simplificaba enormemente (recordamos de nuevo el ensayo sobre la inversión publicado por García Capitán en la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática de 2005, que puedes leer completo aquí).

Cuando es necesario representar una serie de valores y el rango que abarcan es grande, una escala logarítmica puede proporcionar un medio de visualización de los datos que permite que se puedan determinar los valores a partir de la gráfica. La escala logarítmica se representa con distancias proporcionales a los logaritmos de los valores que se representan. Por ejemplo, en la figura superior, en ambas gráficas, se han representado los valores: 2, 5, 20, 60, 320, 780, 1500, 4900. (de Wikipedia).

En las entradas anteriores hemos visto las principales características de la inversión, una transformación proyectiva que, aunque aplicable también a geometría tridimensional, tiene interesantes aplicaciones en figuras planas.

interpretación espacial para la inversión, sirve para hacer ejercicios de esferas tangentes cuyos centros estén en un mismo plano.(http://tangencias-inversion.blogspot.com.es/)

 Los problemas que podrán simplificarse en el "mundo inverso" son aquellos que se refieren a condiciones del plano original que se conservan en su imagen invertida, es decir, las de intersección y angularidad, especialmente lo referido a tangencia y ortogonalidad.

Aquí lo vemos gráficamente: estos dos haces coaxiales son ortogonales. Las rectas forman un haz coaxial secante y las circunferencias concéntricas forman un haz coaxial no secante. Estos haces coaxiales ortogonales se transforman en dos haces coaxiales ortogonales:

Inversión de haces de circunferencias (de matematicasvisuales.com)

Habrá una tarea de aprendizaje previo consistente en dominar los conceptos básicos de la inversión, sus dos variantes según el valor positivo o negativo de su potencia, los elementos invariantes y característicos, así como problemas básicos de obtención de puntos y figuras transformadas a partir de distintos datos de la inversión. Pero eso es solo el adiestramiento en el uso de la "herramienta". Lo verdaderamente interesante viene con el conocimiento de los problemas complejos resolubles en el mundo inverso.

Inversión positiva/negativa (de Trazoide.com)

Un primer campo de aplicación está en la superación de la geometría euclidiana por la proyectiva, en la que desaparecen algunos de los invariantes de aquella, como distancias y ángulos, aunque permanecen otros, como incidencia, polaridad, tangencia y razón doble (invariantes proyectivos). Los sistemas de representación, basados en la proyectividad también pueden servirse de la inversión para simplificar algunos problemas.

En geometría avanzada, la inversión resulta fundamental en el estudio de la geometría hiperbólica.

Modelo de Poincaré para la Geometría Hiperbólica.
Se pueden hacer muchos paralelos entre la geometría euclidiana y la hiperbólica. En el modelo de Poincaré, todo el espacio hiperbólico está representado dentro de un disco de radio uno. El borde del disco representa el infinito. Dentro de este disco se cumplen los postulados de Euclides exceptuando el 5to (el de las paralelas)

Teselación del Disco de Poincaré

Las demostraciones de teoremas y postulados matemáticos y geométricos recurren en ocasiones a la inversión, tanto analítica como gráficamente.

Una de las aplicaciones geométricas más interesantes de la inversión es la resolución de problemas de curvas cónicas (incluida la circunferencia), concretamente intersecciones, tangentes y condiciones de angularidad.

La inversión conserva las tangentes:
Parábolas de focos C, D, E, F, G, ...etc., y Directriz (eje y) tangentes todas a la bisectriz del primer cuadrante (de ecuación y =x) y sus inversas en el mismo color correspondiente respecto a la circunferencia de inversión amarilla. Sus inversas son también tangentes a la misma bisectriz.
Para visualizarlas mejor aparecen sus simétricas coloreadas respecto al eje y a la izquierda de la figura. (http://tangencias-inversion.blogspot.com.es/)

En el campo más concreto de las tangencias entre rectas y circunferencias, la inversión permite simplificar y resolver el conocido como problema de Apolonio: obtener todas las posibles circunferencias tangentes a otras tres dadas. Variantes de ese problema son los que aparecen al reducir a dos el número de circunferencias y añadir otras condiciones, como puntos de paso, tangencias a rectas, radios o condiciones angulares en las intersecciones.

Y aparcamos aquí por hoy la inversión, planteando el denominado sexto problema de Apolonio (PCC), consistente en obtener una circunferencia tangente a otras dos dadas y pasando por un punto exterior (si hubiera estudiado un poco más, esta mañana la humillación no habría sido total). En breve enlazaremos la solución.

Enunciado: dadas 2 circunferencias y un punto P exterior a estas, se piden circunferencias tangentes a las dadas que pasen por el punto. Se resuelve por inversión y existen hasta 4 soluciones.

Man Ray y el París de las vanguardias.

Recordemos que la primera entrada de esta serie sobre inversión partía de una impactante fotografía de Man Ray de 1924: "Le violon d'Ingres" (El violín de Ingres).

Man Ray fue uno de los fundadores (con Tzara y Duchamp) del dadaísmo en Estados Unidos y se unió a los surrealistas en París, a donde llegó en el verano de 1921. Primero se dedicó como fotógrafo a inmortalizar a sus colegas y amigos en retratos a los que sus efectos de luz especiales dotaban de una atmósfera mágica. Por mediación de Jean Cocteau se convirtió en el fotógrafo oficial de las personalidades intelectuales y artísticas más destacadas. Retrató, entre otros, a Picasso, Gertrude Stein, Constantin Brancusi y Marcel Proust.

Autoretrato con cello de Man Ray. Rayograma 1931.

Fountain. Marcel Duchamp 1917 

Retrato de Pablo Picasso. Man Ray 1921. 

Le cadeau. Man Ray 1921.

Es inevitable pensar en la importancia de los instrumentos de cuerda para los cubistas, quienes en sus naturalezas muertas incluían mandolinas, violines y guitarras. No obstante, en estos estudios analíticos del espacio, los instrumentos eran simplemente material muerto, sin ningún efecto sensual, en tanto que Man Ray dota a su fotografía de una especial capacidad erótica, como lo subraya la referencia al pintor clasicista    Jean-Auguste-Dominique Ingres, cuyo famoso desnudo de espaldas "Baño turco" irradia sensualidad precisamente por la absurda precisión de su perfil. El título de la fotografía juega con la expresión "le violon d'Ingres", que en francés se refiere a una afición o entretenimiento llevada al virtuosismo (Ingres tocaba con gran destreza el violín, cuando dejaba los pinceles).

La bañista de Valpinçon. Ingres 1808

Baño turco. Ingres 1859.

Inspirado por la bañista de Ingres, Man Ray retrata a su musa, modelo y amante Kiki de Montparnasse, desnuda, de espaldas y también tocada con un turbante. La forzada posición de sus brazos los hace desparecer, modelando el cuerpo a modo de inmaculado violín recortado sobre el fondo oscuro. 
El surrealismo en que Ray militaba se plasma en las dos "efes" u oídos del violín, que el artista dibujó con tinta china sobre la fotografía revelada en papel, para volver entonces a fotografiarla.

En 1990, el polémico (por la utilización de cadáveres en sus fotografías) fotógrafo Joel-Peter Witkin rindió homenaje a Man Ray en su obra "Women once a bird" (mujer que una vez fue pájaro), en la que las efes del violín de Ray se han convertido en terribles cicatrices que evocan unas alas arrancadas de cuajo.

Le violon d'Ingres. Man Ray 1924

Woman once a bird. Witkin 1990.

Kiki de Montparnasse (Alice Prin), conocida como la reina de Montparnasse, modelo, musa y en ocasiones amante, de algunos de los más célebres artistas -Man Ray entre ellos- de las vanguardias europeas de las primeras décadas del siglo XX, Fue además cantante, bailarina, pintora, actriz de cine, escritora y, sobre todo, alma de aquel Quartier du Montparnasse en el que convivió, entre otros, con Gargallo (realizó un retrato suyo en bronce), Picasso, A. Modigliani, T. Tzara, F. Picabia, L. Aragon, A. Breton, P. Élouard, M. Ernst o E. Hemingway, quien prologó su autobiografía.

Kiki de Monparnasse . Pintura de Gwozdecki, 1920

Kiki (Alice Prin). 

Cómic. 2011.

Male torso. Man Ray, 1930.

Inversión (II) ... la solución del problema del corazón NY y un apunte sobre cuestiones colaterales (utilidad de la inversión, París, las vanguardias, gnossiennes ...)

El cantautor gaditano Javier Ruibal (del Puerto de Santa María, como Rafael Alberti) le puso letra a la Gnossienne nº 1 de Satie (abstenerse puristas), y nos sumerge en esas noches parisinas de burdeles, opio, cabarets y bohemia, en las que musas y artistas estaban creando las vanguardias que definirían el arte contemporáneo en el que hemos crecido ...

...

"Los poetas y los artistas determinan de común acuerdo el aspecto de su época, y el porvenir dócilmente se amolda a sus deseos". 

Apollinaire, Los pintores cubistas. 1913

Empecemos por lo que os ha traído hasta aquí, la solución del problema de inversión que planteábamos en la entrada anterior. 

Si lo habéis hecho en Geogebra sabréis que contamos con una herramienta para invertir puntos, rectas y cónicas sin más que seleccionar la circunferencia de autoinversión. 

Pero seamos limpios y utilicemos regla y compás... el corazón de partida tenía solamente cuatro segmentos: dos sobre rectas que no pasaban por el centro de inversión O (luego sus inversos son arcos de circunferencia que sí pasan por dicho centro), y otros dos sobre circunferencias que no pasaban por O (sus inversos serán arcos de circunferencias que tampoco contienen a O).

El procedimiento se reduce pues a invertir los puntos de intersección Q, S y T entre los segmentos (que serán de tangencia en los contactos recta-circunferencia), más otros dos cualesquiera (P y R en nuestro caso) pertenecientes a los arcos originales. De esta forma contamos con tres puntos invertidos para cada nuevo arco (recordamos que las circunferencias inversas de las rectas que contenían los segmentos c y d tienen que pasar por O), con lo que el problema queda resuelto.

En azul, la figura inversa de la original, el corazón rojo

Alguien pensará que mentimos al decir que el corazón se invertiría en el violín de esa mágica espalda de alabastro de Kiki de Montparnasse ... Convendría recordar lo que contestó Picasso cuando le dijeron que su retrato de Gertrude Stein no se parecía en absoluto a su modelo: "Ya se parecerá". Miremos con esos ojos de poetas y artistas a los que se refería Apollinaire.

Retrato de Gertrude Stein (1906), por Pablo Picasso, y fotografía de la escritora y mecenas americana.

Pero, realmente, ¿tiene sentido invertir? 

Si, no nos olvidamos de recordar la importancia de la inversión en la resolución de problemas complejos de tangencias y cónicas. Pero como eso podría alargar esta entrada hasta el hastío, y además tampoco renuncio a volver sobre Man Ray, Kiki y París ... lo dejaremos para una tercera entrada que subirá "as soon as possible". 

Nos quedamos con una cita de un interesante documento sobre inversión que también tendrá cabida allí:

"Para efectuar cálculos con números grandes (por ejemplo en Astronomía) cuando no había calculadoras se usaban los logaritmos. En efecto los logaritmos transforman los productos en sumas y las potencias en productos. Si tenemos que multiplicar dos números muy grandes, hallamos sus logaritmos, efectuamos la suma de dichos logaritmos y averiguamos a qué número corresponde ese logaritmo. De esta manera lo que hemos hecho es transformar el problema en otro más sencillo, resolverlo, y aplicar la transformación inversa a la solución, obteniendo la solución del problema original." 

Francisco J. García Capitán. Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática.

de corazones y violines ... por el camino de la inversión (I)

(Nota del autor: antes de empezar, sería muy recomendable poner como fondo sonoro la Gnossienne nº1 de Erik Satie, a volumen brutal, por ejemplo aquí)

La entrada de hoy es alimenticia ... parte de un encargo del coordinador del módulo específico de la especialidad de Expresión Gráfica, del Máster de Profesorado de Secundaria UPM. Si queremos superar su asignatura, Bases conceptuales de la Representación Gráfica, sería "recomendable" plantear y resolver un problema "elegante" de aplicación del concepto geométrico de INVERSIÓN. Como ejemplo, nos propuso la inversión de un cuadrado con el polo en uno de sus vértices, que podéis encontrar resuelto en la web Trazoide, de Antonio Castilla.

Logo de la campaña "I love New York". Milton Glasner 1977.

¿Y qué tiene que ver la inversión con las dos imágenes de la izquierda, archiconocidos iconos visuales de la cultura occidental del s.XX?

Pues sí, como todos sospechábais, el corazón rojo (o heart, o love, según cómo queramos leerlo) y el cuerpo convertido en violín de Kiki de Montparnasse, modelo y amante de Man Ray, autor de la fotografía, están ligados bidireccionalmente mediante una transformación geométrica de inversión.

"Le violon d'Ingres". Man Ray, 1924

Recordamos -y si no lo recordamos, esta entrada del impagable blog Piziadas (no solo es ditirambo a su autor ... que también) nos ilumina- que "la inversión es una transformación homográfica involutiva en el plano, que conserva las relaciones angulares", o sea, que es conforme. 

Pero vayamos al origen, a la definición: 

Dada una circunferencia de centro O y radio k, la inversión de centro O y radio k es una transformación del plano que a cada punto A distinto de O, le asocia otro punto A' de la semirrecta OA cumpliendo la relación OA·OA' = k2

En el siguiente applet de Geogebra puedes revisar los conceptos fundamentales de la inversión (su autor es "profesor_de_dibujo" y puedes encontrarlo en geogebratube)

Llegados a este punto, no me resisto a traer un delicioso vídeo que explica visualmente las llamadas Transformaciones de Moebius, de las que la inversión es seguramente el ejemplo menos conocido e intuitivo:

Recordaremos por último algunas características de la inversión:

1. Se conservan los ángulos (transformación conforme), aunque con su sentido invertido.
2. En particular, se conservan ortogonalidad y tangencia.
3. Se conservan los puntos de intersección.
4. La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión O es la propia recta (invariante).
5. La inversa de una recta que NO pasa por O es una circunferencia que SÍ pasa por O, y viceversa.
6. La inversa de una circunferencia que NO pasa por O es otra circunferencia que TAMPOCO pasa por O.
7. No se conservan las distancias (no es isometría).

Bueno, ahora que hemos refrescado los conceptos teóricos, volvamos al problema que nos puede ayudar a superar la asignatura ... o a ser expulsados de la UPM para siempre:

Se trata de obtener la figura inversa del corazón del logo de NY (lo hemos simplificado para aplicar además la inversión de rectas), dado el centro de inversión O y la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (CPD), o una pareja de puntos relacionados D y D'. Aquí tienes los datos en una imagen de Geogebra para hacerte una idea.

Antes de la próxima clase de Bases Conceptuales publicaremos la solución (si conseguimos hallarla ...) y contaremos algo más sobre la utilidad de la geometría inversiva en la resolución de problemas geométricos complejos. y también sobre "el violín de Ingres", Man Ray, Kiki de Montparnasse y la apasionante bohemia de las vanguardias artísticas del París de entreguerras (y por qué hemos escuchado a Satie).

Hasta entonces.

Eureka, la encontramos: aquí está la solución.